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\title[首次积分]{《常微分方程》第十章：首次积分}
\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{enumerate}
\item[10.1.] 首次积分的定义  
\item[10.2.] 首次积分的性质
\item[10.3.] 首次积分的存在性
\item[10.4.] 大范围的首次积分

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{10.1.1. 例子1 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  问：举例说明首次积分的含义和作用。求解微分方程组
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& -y + x(x^2+y^2-1), \\
\frac{dy}{dt} &=& x + y(x^2+y^2-1). \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
找出两个独立的首次积分。

\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{10.1.2. 例子2 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  问：通过寻找首次积分，求解微分方程组
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\alpha\frac{du}{dt} &=& (\beta-\gamma)vw, \\
\beta\frac{dv}{dt} &=& (\gamma-\alpha)uw, \\
\gamma\frac{dw}{dt} &=& (\alpha-\beta)uv, \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{10.2.1. 定理10.1. 存在首次积分的一个充分必要条件  }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  问题：微分方程组
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\frac{du}{dt} &=& f(t,u,v), \\ 
\frac{dv}{dt} &=& g(t,u,v).
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
有首次积分 $\Phi(t,u,v)=C$ 的充分必要条件是 
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\Phi}{\partial t} + \frac{\partial\Phi}{\partial u}f + \frac{\partial\Phi}{\partial v} g = 0.   
\end{eqnarray*}

\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{10.2.2. 定理10.2. }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  问：若已知微分方程组的一个首次积分，则可以把这个微分方程组降低一阶。

\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{例：自由落体运动（机械能守恒）}

考虑一个质量为 $ m $ 的物体在重力作用下沿竖直方向运动。

设 $ z(t) $ 是物体的高度，$ g $ 是重力加速度。根据牛顿第二定律，可得其运动方程为
$$
m \frac{d^2 z}{dt^2} = -mg
$$

将其化为一阶方程组，可得
$$
\begin{cases}
\frac{dz}{dt} = v \\
\frac{dv}{dt} = -g
\end{cases}
$$

我们尝试寻找一个函数 $ H(z, v) $，使得它沿着解曲线保持不变，即
$$
\frac{d}{dt} H(z(t), v(t)) = 0
$$

计算全导数，可得
$$
\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial z} \frac{dz}{dt} + \frac{\partial H}{\partial v} \frac{dv}{dt} = \frac{\partial H}{\partial z} v + \frac{\partial H}{\partial v} (-g)
$$

令其为零，可得
$$
v \frac{\partial H}{\partial z} - g \frac{\partial H}{\partial v} = 0
$$

我们猜测 $ H(z, v) = \frac{1}{2} v^2 + gz $，
于是 $ \frac{\partial H}{\partial z} = g $, $ \frac{\partial H}{\partial v} = v $. 
代入验证可得，
$$
\frac{dH}{dt} = v \cdot 0 + (-g) \cdot v = -g v + g v = 0.
$$

实际上，$ H(z, v) = \frac{1}{2} v^2 + gz $ 正是单位质量的机械能（动能 $ \frac{1}{2} v^2 $ + 势能 $ gz $）。

因此，首次积分 $ H(z, v) = C $ 反映了机械能守恒定律。

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
